Рациональные алгебраические дроби

Все алгебраические многочлены, рассматриваемые в этом параграфе, являются вещественными многочленами, т.е. их коэффициенты – вещественные числа. Вещественный многочлен , , при вещественных x воспринимает вещественные значения. Заметим, что таковой многочлен может иметь как вещественные, так и надуманные корешки.

3.1Главные понятия

Функцию R, заданную равенством , где и - алгебраические многочлены степени m и n Рациональные алгебраические дроби соответственно, именуют рациональной функцией.

Если многочлен отличен от тождественной константы, т.е. если его сте- пень есть натуральное число, рациональную функцию именуют рациональной алгеб- раической дробью либо, короче, рациональной дробью. Тут мы рассматриваем раци- ональные дроби , n ³ 1. В качестве области определения X таковой функ- ции выступает вся числовая ось, за Рациональные алгебраические дроби вычетом конечного огромного количества точек – веществен- ных корней знаменателя .

Рациональную дробь именуют правильной, если m < n, и неправиль- ной в неприятном случае, т.е. когда степень числителя больше либо равна степени знаме- нателя. Некорректную рациональную дробь , поделив многочлен на многочлен , можно представить в виде суммы алгебраического многочлена и Рациональные алгебраические дроби правильной рациональной дроби:

. Тут и - алгебраические многочлены, при этом степень l многочлена меньше n. Такое преобразование дроби именуют выделением её целой части.

Простыми оптимальными дробями назовём оптимальные дроби последующих 2-ух видов:

, , где A, B, C, a, b, c – вещественные числа, при этом , так что корешки трехчлена - пара сопряженных надуманных Рациональные алгебраические дроби чисел; k – натуральное число.

3.2. Основная аксиома

Пусть , n ³ 1, – вещественный многочлен степени n, и пусть (19) есть его разложение на вещественные множители. Таким макаром, имеет l попарно раз- личных вещественных корней кратности , j = 1, 2,.. , l, и s пар надуманных сопря- женных корней , кратности , t = 1, 2,.. , s.

Аксиома 5. (О разложении правильной дроби в сумму Рациональные алгебраические дроби простых дробей)

Пусть - верная рациональная дробь ( m < n), знаменатель которой представлен разложением (19). Есть наборы вещественных чисел , где j = 1, 2, ¼ , l, a = 1, 2, ¼ , , также наборы вещественных чисел и , где t = 1, 2,¼, s, β= 1, 2, ¼ , , такие, что при всех x, x Î R, , справед- ливо равенство

. . . . . . . . . . . . . . . .

…………………………………………………….

.

Подтверждение аксиомы можно отыскать в [1].

Замечание. Потому что , то полное Рациональные алгебраические дроби количество констант , и равно степени знаменателя n.

Пример. Дробь разложим в сумму элементар- ных дробей.

Разложение знаменателя на вещественные множители получено в примере п. 2.3.: . Многочлен имеет прос- той вещественный корень и пару надуманных сопряженных корней , кратности 2. Согласно аксиоме 5 есть константы – обозначим их через А, B, C, D, E - такие Рациональные алгебраические дроби, что при R, х

. Найдём эти константы. Приведя дроби в правой части к общему знаменателю, получим равенство меж 2-мя дробями, знаменатели которых схожи. Означает, должны совпадать и их числители:

. На это равенство смотрим как на равенство меж 2-мя многочленами, причём сте- пень многочлена в правой части не выше четвёртой Рациональные алгебраические дроби. Из равенства и следствия 3 теоре- мы 3 следует, что должны быть схожи коэффициенты этих многочленов при оди- наковых степенях х. Приравняв коэффициенты поочередно при , получим систему уравнений для неведомых А, B, C, D, E:

Отсюда: . Итак,

.


radikalnij-islam-v-germanii-novaya-ugroza.html
radio-10-mayak-14-10-2004-novosti-19-00-00-bistrov-ruslan-novosti-16-00-00-voskobojnikov-roman-10.html
radio-8-mayak-novosti-28-03-2005-13-00-00-8.html